Question

已知動圓C過點A(－2，0)，且與圓M：(x－2)²+x²=64相內切
(1)求動圓C的圓心的軌跡方程；
(2)設直線l: y=kx+m(其中k，m∈Z)與(1)所求軌跡交于不同兩點B，D，與雙曲線交于不同兩點E，F，問是否存在直線l，使得向量，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：（1）圓M：(x－2)2+x2=64，圓心M的坐標為(2，0)，半徑R="8.      "
∵|AM|=4<R，∴點A(－2，0)在圓M內，
設動圓C的半徑為r，圓心為C，依題意得r= |CA|，且|CM|=R－r，
即|CM+|CA|=8>|AM|，                             ……3分
∴圓心CD的軌跡是中心在原點，以A，M兩點為焦點，長軸長為8的橢圓，設其方程為(a>b>0)，則a=4，c=2，
∴b2=a2－c2=12，
∴所求動圓C的圓心的軌跡方程為.…5分
(2)由消去y 化簡整理得：(3+4k2)x2+8kmx+4m2－48=0，
設B(x1，y1)，D(x2，y2)，則x1+x2=.
△1=(8km)2－4(3+4k2) (4m2－48)>0.       ①          ……7分
由消去y 化簡整理得：(3－k2)x2－2kmx－m2－12=0，
設E(x3，y3)，F(x4，y4)，則x3+x4=.
△2=(－2km)2+4(3－4k2) (m2+12)>0.       ②          ……9分
∵，∴ (x4－x2 )+ (x3－x1) =0，即x1+x2= x3+x4，
∴，∴2km=0或，
解得k=0或m=0，                                  ……12分
當k=0時，由①、②得，
∵m∈Z，∴m的值為－3，－2，－1，0，1，2，3；
當m=0時，由①、②得，∵k∈Z，∴k=－1，0，1.
∴滿足條件的直線共有9條.                         ……14分

略