Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)左右兩焦點分別為F₁，F₂，且離心率e=

6

3

；
（1）設E是直線y=x+2與橢圓的一個交點，求|EF₁|+|EF₂|取最小值時橢圓的方程；
（2）已知N（0，1），是否存在斜率為k的直線l與（1）中的橢圓交與不同的兩點A，B，使得點N在線段AB的垂直平分線上，若存在，求出直線l在y軸上截距的范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于e=

6

3

，可得

b2

a2

=

1

3

，橢圓方程可化為

x2

3b2

+

y2

b2

=1．與直線方程y=x+2聯立，消去y化簡得：4x²+12bx+12-3b²=0，又由△≥0，解得b²≥1，此時|EF₁|+|EF₂|=2

3

b≥2

3

，當且僅當b=1時取等號，此時|EF₁|+|EF₂|取最小值2

3

．即可得到橢圓方程．
（2）設直線l的方程為y=kx+t，代入橢圓方程可得到一元二次方程，△＞0即根與系數的關系，利用中點坐標公式可得線段AB的中點M坐標公式，利用k_MN•k=-1可得k與t的關系，結合△＞0進而得出t的取值范圍．當k=0時，容易得出．

解答：解：（1）e=

6

3

，
∴

b2

a2

=

1

3

，橢圓方程可化為

x2

3b2

+

y2

b2

=1．
聯立

y=x+2 x2+3y2=3b2

，消去y化簡得：4x²+12bx+12-3b²=0，
又由△=144b²-16×（12-3b²）≥0，解得b²≥1，
此時|EF₁|+|EF₂|=2

3

b≥2

3

，當且僅當b=1時取等號，此時|EF₁|+|EF₂|取最小值2

3

．
∴橢圓方程為

x2

3

+y2=1．
（2）設直線l的方程為y=kx+t，代入橢圓方程并消去y得到：（1+3k²）x²+6ktx+3t²-3=0，
∵直線l與橢圓有兩個不同的交點，
∴△=（6kt）²-4（1+3k²）（3t²-3）＞0．化為1+3k²＞t²．
∴x1+x2=

-6kt

1+3k2

，x1x2=

3t2-3

1+3k2

．
∴線段AB的中點M(

-3kt

1+3k2

，

t

1+3k2

)，
∴

t 1+3k2 -1

-3kt 1+3k2

×k=-1，化為1+3k²=-2t．
∴-2t＞t²，
解得-2＜t＜0；
又-2t=1+3k²＞1，∴t＞-

1

2

．
故-

1

2

＜t＜0．
當k=0時，-1＜t＜1．
綜上可知：k≠0時，-

1

2

＜t＜0；當k=0時，-1＜t＜1．

點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到△＞0及根與系數的關系、中點坐標公式、相互垂直的直線的斜率之間的關系、分類討論的思想方法等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．