Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xoy中，拋物線y2=2px（p＞0）的準線l與x軸交于點M，過點M的直線與拋物線交于A，B兩點，設A（x1 ， y1）到準線l的距離d=2λp（λ＞0）

（1）若y1=d=3，求拋物線的標準方程；
（2）若 +λ = ，求證：直線AB的斜率的平方為定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：拋物線y2=2px的焦點F（ ，0），準線方程為x=﹣ ，

則|AF|=y1，可得AF⊥x軸，

則x1= ，即有d= + =3，即p=3，

則拋物線的方程為y2=6x；

（2）證明：設B（x2，y2），AB：y=k（x+ ），代入拋物線的方程，可得

k2x2+p（k2﹣2）x+ =0，

由△=p2（k2﹣2）2﹣k4p2＞0，即為k2＜1，

x1= ，x2= ，

由d=2λp，可得x1+ =2λp，

由 +λ = ，M（﹣ ，0），

可得x1+ =λ（x2﹣x1），

即有2p=x2﹣x1= ，

解得k2= ．

故直線AB的斜率的平方為定值．

【解析】（1）求得拋物線的焦點和準線方程，由題意可得AF⊥x軸，即有p=3，進而得到拋物線的方程；（2）設B（x2 ， y2），AB：y=k（x+ ），代入拋物線的方程，可得x的方程，運用判別式大于0和求根公式，運用向量共線的坐標表示，可得2p=x2﹣x1 ， 解方程即可得到所求定值．