Question

如圖，已知三棱柱的側棱與底面垂直，且，,，點分別為、、的中點．
（1）求證：平面；
（2）求證：；
（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

解析試題分析：（1）線面平行的證明主要是走線面平行的判定定理這條路，因此必須在平面內尋找到一條與平行的直線，借助平幾知識，這條直線不難找到；（2）在證明垂直關系時，如果幾何證明有困難，也可從向量考慮；（3）求二面角的大小，主要是走向量這條路，它有固定步驟：首先求兩個面的法向量，其次求法向量的余弦值進而得法向量的夾角，然后根據二面角是銳角還是鈍角，決定其大小.
試題解析：（1）證明：連接，是的中點 ，過點，
為的中點，，
又面，面，平面；
（2）在直角中，，，，
棱柱的側棱與底面垂直，且，以點為原點，以所在的直線為軸建立如圖所示空間直角坐標系如圖示，則，，，，，
，，
，；
（3）依題意得，，，，，，，，
設面的一個法向量為，
由，得，令，得，
同理可得面的一個法向量為，
故二面角的平面角的余弦值為.
考點：空間向量與立體幾何.