Question

如圖，在幾何體中，平面，，是等腰直角三角形，，且，點是的中點．

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求與平面所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.

試題分析：（Ⅰ）證法一是取的中點，構造四邊形，并證明四邊形為平行四邊形，得到，從而證明平面；證法二是取的中點，構造平面，通過證明平面平面，并利用平面與平面平行的性質來證明平面；（Ⅱ）直接利用空間向量法求直線與平面所成角的正弦值.
試題解析：解法一：（Ⅰ）取的中點，連結，

則，且，     2分
又，∴且，所以四邊形是平行四邊形，
則，                    5分
又因為平面，平面，所以平面．           6分
（Ⅱ）依題得，以點為原點，所在的直線分別為軸，建立如圖的空間直角坐標系，

則，，，，，，
所以，．
設平面的一個法向量為，則即，
取，得，．       10分
又設與平面所成的角為，，
則，
故與平面所成角的正弦值為．             13分
解法二：（Ⅰ）取的中點，連結，

則，
又因為平面，平面，平面，平面，
所以平面，平面，
又，所以平面平面，
平面，∴平面．     6分
（Ⅱ）同解法一．                 13分