Question

已知拋物線x²=2py上點（2，2）處的切線經過橢圓的兩個頂點．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過橢圓E的上頂點A的兩條斜率之積為-4的直線與該橢圓交于B、C兩點．請問：是否存在一點D，使得直線BC恒過該點？若存在，請求出定點D的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，過點A作直線BC的垂線，垂足為H，求點H的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用導數求出拋物線在點（2，2）處的切線方程，得到橢圓的兩個頂點坐標，則橢圓方程可求；
（2）設出過A點的兩條直線的斜率，寫出兩條直線AB和AC的直線方程，和橢圓方程聯立后求出B和C兩點的坐標，結合斜率之積等于-4可以證明直線BC所在的直線方程為，從而說明直線BC過定點（0，0）；
（3）設出H的坐標，由題意可知，代入坐標后可得H的軌跡方程．
解答：解：（1）將（2，2）代入x²=2py，得4=4p，所以p=1，故拋物線方程為x²=2y．
即．
y對x求導得y^′=x，所以拋物線x²=2y上點（2，2）處的切線的斜率為y^′|_x=2=2．
所以拋物線在點（2，2）處的切線方程為y-2=2（x-2），即y=2x-2．
它與兩坐標軸的交點分別為（1，0），（0，-2）．
由題意可知，a=2，b=1．
所以橢圓E的方程分別為；
（2）假設直線BC恒過定點D．
設直線AB的斜率k_AB=k₁，直線AC的斜率k_AC=k₂，則k₁k₂=-4．
從而直線AB的方程為y=k₁x+2．
聯立，整理得．
從而點B的橫坐標，．
所以點B的坐標為．
同理點C的坐標為．
于是，，．
，．
所以點B，C均在直線上．
而兩點確定一條直線，所以直線BC的方程為，即．
所以BC恒過定點D（0，0）；
（3）設H（x，y），由（2）知，∠AHO=90°，
所以．
又因為，
所以有x²+y（y-2）=0，即x²+（y-1）²=1．
所以H的軌跡方程為x²+（y-1）²=1（去掉點（0，2））．
點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了利用平面向量求軌跡方程，考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了學生靈活處理問題和解決問題的能力，考查了學生的運算能力，屬難題．