Question

（2013•閔行區二模）如圖，在半徑為20cm的半圓形（O為圓心）鋁皮上截取一塊矩形材料ABCD，其中點A、B在直徑上，點C、D在圓周上．
（1）請你在下列兩個小題中選擇一題作答即可：
①設∠BOC=θ，矩形ABCD的面積為S=g（θ），求g（θ）的表達式，并寫出θ的范圍．
②設BC=x（cm），矩形ABCD的面積為S=f（x），求f（x）的表達式，并寫出x的范圍．
（2）怎樣截取才能使截得的矩形ABCD的面積最大？并求最大面積．

Answer 1

分析：（1）①連接OC，設∠BOC=θ，矩形ABCD的面積為S，則S=AB•BC=2OB•BC=900sin2θ，由三角函數的知識，得出S的最大值以及對應BC的值．
②連接OC，設BC=x，矩形ABCD的面積為S；則S=AB•BC=2x

400-x2

=2

x2(400-x2)

，由基本不等式可得S的最大值以及對應的x的取值；
（2）根據（1）問的解答，即可得出怎樣截取才能使截得的矩形ABCD的面積最大及最大值．

解答：解：如圖所示，
（1）①連接OC，設∠BOC=θ，矩形ABCD的 面積為S，則BC=30sinθ，OB=30cosθ（其中0＜θ＜

π

2

）；
∴S=AB•BC=2OB•BC=900sin2θ，且當sin2θ=1，即θ=

π

4

時，S取最大值為900，此時BC=10

2

；
所以，取BC=10

2

時，矩形ABCD的面積最大，最大值為400cm²．
②連接OC，設BC=x，矩形ABCD的面積為S；則AB=2

400-x2

（其中0＜x＜30），
∴S=2x

400-x2

=2

x2(400-x2)

≤x²+（400-x²）=400，當且僅當x²=400-x²，即x=10

2

時，S取最大值400；
所以，取BC=10

2

cm時，矩形ABCD的面積最大，最大值為400cm²．
（2）由（1）知，取∠BOC=

π

4

時，得到C點，從而截得的矩形ABCD，此時截得的矩形ABCD的面積最大，最大值為400cm²．

點評：本題綜合考查了二次函數、三角函數的最值問題，這里應用了基本不等式的方法求出了函數的最值．