Question

如圖，四棱錐S—ABCD的底面是邊長為1的正方形，

SD垂直于底面ABCD，SB=.
（I）求證BCSC；
（II）求面ASD與面BSC所成二面角的大小；
（III）設棱SA的中點為M，求異面直線DM與SB所成角的大小.

Answer 1

（I）證明見解析（II）45°（III）90°

[方法一]：（幾何法）
（I）證法一：如圖1，∵底面ABCD是正方形， ∴BC⊥DC.
∵SD⊥底面ABCD，∴DC是SC在平面ABCD上的射影，               
由三垂線定理得BC⊥SC.…………3分
證法二：如圖1，∵底面ABCD是正方形， ∴BC⊥DC.          
∵SD⊥底面ABCD，∴SD⊥BC，又DC∩SD=D，                    圖1
∴BC⊥平面SDC，∴BC⊥SC.…………3分
（II）解法一：∵SD⊥底面ABCD，且ABCD為正方形，
∴可把四棱錐S—ABCD補形為長方體A₁B₁C₁S—ABCD，
如圖2，面ASD與面BSC所成的二面角就是面ADSA₁與面BCSA₁所成的二面角，
∵SC⊥BC，BC//A₁S，∴SC⊥A₁S，
又SD⊥A₁S，∴∠CSD為所求二面角的平面角.
在Rt△SCB中，由勾股定理得SC=，在Rt△SDC中，
由勾股定理得SD=1.
∴∠CSD=45°.即面ASD與面BSC所成的二面角為45°.……………8分
解法二：如圖3，過點S作直線在面ASD上，
∵底面ABCD為正方形，在面BSC上，
為面ASD與面BSC的交線.

∴∠CSD為面ASD與面BSC所成二面角的平面角.
在Rt△SCB中，由勾股定理得SC=，在Rt△SDC中，
由勾股定理得SD=1.
∴∠CSD=45°.即面ASD與面BSC所成的二面角
為45°。…8分
（III）解法一：如圖3，∵SD=AD=1，∠SDA=90°，∴△SDA是等腰直角三角形.
又M是斜邊SA的中點， ∴DM⊥SA. 
∵BA⊥AD，BA⊥SD，AD∩SD=D，∴BA⊥面ASD，SA是SB在面ASD上的射影.
由三垂線定理得DM⊥SB. ∴異面直線DM與SB所成的角為90°. ……………14分
解法二：如圖4，取AB中點P，連結MP，DP.
在△ABS中，由中位線定理得 MP//SB，是異面直線DM與SB所成的角.
，
又
∴在△DMP中，有DP²=MP²+DM²， 
即異面直線DM與SB所成的角為90°. ……………14分
[方法二]：（向量法）
解析：如圖所示，以D為坐標原點建立直角坐標系，
則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），
M（，0，），
∵　SB=，DB=，SD=1，∴　S（0，0，1），……………2分
（I）證明：∵　，
="0  " ∴　，即BCSC．……………5分
（II）設二面角的平面角為θ，由題意可知平面ASD的一個法向量為，設平面BSC的法向量為，由，
得，
∴　面ASD與面BSC所成的二面角為45°．……………10分
（III）設異面直線DM與SB所成角為α，
∵　，SB=(-1,-1,1),得
∴　異面直線DM與SB所成角為90°．……………14分