Question

（2011•洛陽二模）設函數f（x）的定義域為R，且對任意的x∈R都有f（-x）=f（x），f（x-2）=-f（x）．當x∈[0，2]時，f（x）=2^x-1．若在區間[-2，10]上關于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）有五個不同的實數根，則a的取值范圍是（　　）

• A．（1，2）
• B．（2，+∞）
• C．（1，

  3	12

  ）
• D．（2，

  3	12

  ）

Answer 1

分析：由已知可得函數為偶函數且周期為4，另外問題可化為兩函數圖象的交點個數問題，作出圖象可得不等式，解之即可．

解答：解：由對任意的x∈R都有f（-x）=f（x），可得f（x）為偶函數，
而f（x-4）=f[（x-2）-2]=-f（x-2）=f（x），即函數f（x）為周期函數且周期為4，
又當x∈[0，2]時，f（x）=2^x-1∈[0，3]，
在區間[-2，10]上關于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）有五個不同的實數根，
等價于函數f（x）與函數y=log_a（x+2）（a＞1）有五個不同的交點，
在同一個坐標系中作出函數的圖象，

由題意可得只需

loga(6+2)＜3 loga(10+2)＞3

，即

loga8＜3 loga12＞3

，故8＜a³＜12，
解得2＜a＜

3	12

．
故選D

點評：本題考查方程根的個數問題，轉化為函數圖象交點的個數，用數形結合的方式解決問題是關鍵，屬中檔題．