Question

中心在原點，焦點在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點F₁，F₂，且|F1F2|=2

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，橢圓的長半軸與雙曲線的實半軸之差為4，離心率之比為3：7．
（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的方程；
（Ⅱ）若P為雙曲線與橢圓的交點，求cos∠F₁PF₂．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據半焦距c=

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，設橢圓長半軸為a，由離心率之比求出a，進而求出橢圓短半軸的長及雙曲線的虛半軸的長，寫出橢圓和雙曲線的標準方程．
（Ⅱ）由橢圓、雙曲線的定義求出PF₁與PF₂的長，三角形F₁PF₂中，利用余弦定理求出 cos∠F₁PF₂ 的值．

解答：解：（Ⅰ）由題意知，半焦距c=

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，設橢圓長半軸為a，則雙曲線實半軸 a-4，
離心率之比為

3

7

=

13 a

13 a-4

，
∴a=7，
∴橢圓的短半軸等于

49-13

=6，
雙曲線虛半軸的長為

13-9

=2，
∴橢圓和雙曲線的方程分別為：

x2

49

+

y2

36

=1和

x2

9

-

y2

4

=1．
（Ⅱ）由橢圓的定義得：PF₁ +PF₂=2a=14，
由雙曲線的定義得：PF₁-PF₂=±6，
∴PF₁與PF₂中，一個是10，另一個是 4，不妨令PF₁=10，PF₂=4，
又F₁F₂=2

13

，三角形F₁PF₂中，利用余弦定理得：(2

13

)2=100+16-80cos∠F₁PF₂，
∴cos∠F₁PF₂=

4

5

．

點評：本題考查橢圓、雙曲線標的定義應用和標準方程的求法，以及利用余弦定理解三角形．