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精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
已知△ABC是邊長為1的正三角形，將BC邊n等分，沿從B到C的方向的分點依次為P1、P2、P3、…、Pn-1，設Sn=
AB
•
AP1
+
AP1
•
AP2
+
AP2
•
AP3
…+
APn-1
•
AC
，求證：Sn=
5n2-2
6n
（n∈N+，n≥2）．
考點：數列的求和,平面向量數量積的運算
專題：等差數列與等比數列,平面向量及應用
分析：利用平面向量的數量積運算求得
APk
•
APk+1
=（
AB
+k
BP1
）[
AB
+（k+1）
BP1
]=
AB
2+（2k+1）
AB
•
BP1
+k（k+1）
BP1
2=1-
2k+1
2n
+
k2+k
n2
，再利用數列求和即可得出結論．
解答： 解：
APk
•
APk+1
=（
AB
+k
BP1
）[
AB
+（k+1）
BP1
]=
AB
2+（2k+1）
AB
•
BP1
+k（k+1）
BP1
2=1-
2k+1
2n
+
k2+k
n2
，
∴Sn=
AB
•
AP1
+
AP1
•
AP2
+
AP2
•
AP3
…+
APn-1
•
AC
=
AB
•
AP1
+（n-1）-
3+5+7+…+(2n-1)
2n
+
(1+1)+(22+2)+…+(n2-n)
n2

=1-
1
2n
+n-1-
(n+1)(n-1)
2n
+
n(n-1)
2
+
n(n-1)(2n-1)
6
n2
=
5n2-2
6n
（n∈N+，n≥2）．
點評：本題主要考查平面向量的運算及數列求和的知識，考查學生的運算求解能力，屬難題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=（m-3）ex，g（x）=2ax+1+blnx，其中m，a，b∈R，x＞0．曲線g（x）在x=1處的切線方程為y=3x
（1）求函數g（x）的解析式；
（2）當k≤0時，求h（x）=
1
2
kx2+g（x）的單調區間；
（3）若f（x）的圖象恒在g（x）圖象的上方，求m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，平面ABC⊥平面DBC，已知AB=AC，BC=6，∠BAC=∠DBC=90°，∠BDC=60° 
（1）求證：平面ABD⊥平面ACD；
（2）求二面角A-CD-B的平面角的余弦值；
（3）記經過直線AD且與BC平行的平面為α，求點B到平面α的距離．

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科目：高中數學 來源： 題型：

一個袋子中有3個紅球和2個黃球，5個球除顏色外完全相同，甲、乙兩人先后不放回地從中各取1個球．規定：若兩人取得的球的顏色相同則甲獲勝，否則乙獲勝．
（1）求兩個人都取到黃球的概率；
（2）計算甲獲勝的概率．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，一艘輪船在某海島附近的海上勻速直線航行，海島上一觀察哨A在上午11時測得輪船在海島北偏東60°的B處，12時20分測得輪船在海島北偏西60°的C處，12時40分輪船到達位于海島正西方且距離海島5海里的D港口．
（Ⅰ）求證：S△ABC=4S△ACD；
（Ⅱ）求輪船的速度（單位：海里/小時）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=sin（2ωx+
π
6
）（ω＞0），直線x=x1，x=x2是y=f（x）圖象的任意兩條對稱軸，且|x1-x2|的最小值為
π
2
．
（1）求函數f（x）的單調增區間；
（2）求使不等式f（x）≥
3
2
的x的取值范圍．
（3）若f（α）=
1
3
，α∈[-
π
3
，
π
6
]，求f（α+
π
6
）的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知
a
=（1，-1），
b
=（λ，1），
（1）當
a
⊥
b
時，求λ的值．
（2）若
a
與
b
的夾角α為鈍角，求λ的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知F為拋物線E：y2=2px（P＞0）的焦點，拋物線上點G的橫坐標為2，且滿足|GF|=3．
（Ⅰ）求拋物線E的方程；
（Ⅱ）M點的坐標為（2，0），過點F作斜率為1K的直線與拋物線交于A、B兩點，A、B兩點的橫坐標均不為2，連結AM、BM并延長交拋物線于C、D兩點，設直線CD的斜率為k2，判斷
k1
k2
是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）=
log2x    x＞0
4x      x≤0
，則f[f（
1
4
）]=
 
．

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