Question

【題目】如圖，在四棱錐P—ABCD中，AP⊥CD，AD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝2，E，F分別為AD，PC的中點．求證：

（1）AP∥平面BEF；

（2）平面BEF⊥平面PAC．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）設，連接，通過中位線證明來證明平面.（2）證明四邊形為菱形，得到，利用得到，由此證得平面，從而證得平面平面.

證明：

(1)設AC交BE于點O，連接OF，連接CE．

因為AE＝BC＝1，AD∥BC，所以四邊形ABCE為平行四邊形．

所以點O為AC的中點，又因為點F為PC的中點．所以OF∥AP．

又因為OF平面BEF，AP平面BEF所以AP∥平面BEF

(2)因為AD∥BC，ED＝BC＝1，所以四邊形BCDE為平行四邊形．所以BE∥CD．

因為AP⊥CD，所以AP⊥BE．又因為四邊形ABCE為平行四邊形，AB＝BC，

所以四邊形ABCE為菱形．所以AC⊥BE．

又因為AP⊥BE，AP∩AC＝A，AP平面APC，AC平面APC．

所以BE⊥平面APC．

因為BE平面BEF．所以平面BEF⊥平面PAC．