Question

【題目】如圖，橢圓：的離心率為，設(shè)，分別為橢圓的右頂點(diǎn)，下頂點(diǎn)，的面積為1.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知不經(jīng)過點(diǎn)的直線：交橢圓于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，若，求證：直線過定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】

（1）根據(jù)離心率為， 的面積為1.，結(jié)合性質(zhì) ，列出關(guān)于 、 、的方程組，求出 、 ，即可得結(jié)果；（2）由，可得線段為外接圓的直徑，即，聯(lián)立，利用平面向量數(shù)量積公式、結(jié)合韋達(dá)定理可得或，直線的方程為或，從而可得結(jié)論.

（1）由已知，，，可得，

又因?yàn)?/span>，即，所以，即，，

所以橢圓的方程為.

（2）由題意知，因?yàn)?/span>，

所以，所以線段為外接圓的直徑，即，

聯(lián)立，得，

，設(shè)，，則

，， ①又因?yàn)?/span>，

即，

又，，，

即， ②

把①代入②得：

得或，

所以直線的方程為或，

所以直線過定點(diǎn)或（舍去），

綜上所述直線過定點(diǎn).