Question

【題目】已知函數，的最大值為.

（Ⅰ）求實數的值；

（Ⅱ）當時，討論函數的單調性；

（Ⅲ）當時，令，是否存在區間.使得函數在區間上的值域為若存在，求實數的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 時，在單調增；時, 在單調遞減，在單調遞增；時,同理在單調遞減，在單調遞增；（3）不存在.

【解析】分析：(1)利用導數研究函數的單調性，可得當時， 取得極大值，也是最大值，

由，可得結果；（2）求出，分三種情況討論的范圍，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間；（3）假設存在區間，使得函數在區間上的值域是，則，問題轉化為關于的方程在區間內是否存在兩個不相等的實根，進而可得結果.

詳解：(1) 由題意得，

令，解得，

當時， ，函數單調遞增；

當時， ，函數單調遞減.

所以當時， 取得極大值，也是最大值，

所以，解得.

（2）的定義域為.

①即,則，故在單調增

②若,而,故,則當時，;

當及時，

故在單調遞減，在單調遞增。

③若,即,同理在單調遞減，在單調遞增

（3）由（1）知，

所以，令，則對恒成立，所以在區間內單調遞增，

所以恒成立，

所以函數在區間內單調遞增.

假設存在區間，使得函數在區間上的值域是，

則，

問題轉化為關于的方程在區間內是否存在兩個不相等的實根， 即方程在區間內是否存在兩個不相等的實根，

令， ，則，

設， ，則對恒成立，所以函數在區間內單調遞增，

故恒成立，所以，所以函數在區間內單調遞增，所以方程在區間內不存在兩個不相等的實根.

綜上所述，不存在區間，使得函數在區間上的值域是.