Question

有3個不相同的球和4個盒子，盒子的編號分別為1、2、3、4，將球逐個獨立地、隨機地放入4個盒子中去．以η表示其中至少有球的盒子的最小號碼．（例如，事件η=3表示第1號，第2號盒子都是空的，第3號盒子中至少有一個球）．
（1）當η=2時，求P（η=2）；
（2）求η的分布列及期望Eη．

Answer 1

分析：（1）由題意η=2說明2號盒子中可以有1個球或兩個球或3個球，而1號盒子為空，分2號盒子中可以有1個球或兩個球或3個球三類用古典概型分別求概率，再取和即可．
（2）η所能取到的值為1，2，3，4，η=k表示前k-1個盒子為空，第k號盒子不空，分別求概率，列出分布列，再求期望即可．

解答：解：（1）η=2說明2號盒子中可以有1個球或兩個球或3個球
所以

C 1 3 ×22+ C 2 3 ×2+ C 3 3

43

=

19

64

（2）η所能取到的值為1，2，3，4
P(η=1)=

C 1 3 ×32+ C 2 3 ×3+ C 3 3

43

=

37

64

P(η=3)=

C 1 3 + C 2 3 + C 3 3

43

=

7

64

P(η=4)=

C 3 3

43

=

1

64

所以分布列為：
期望Eη=

25

16

點評：本題考查古典概型、互斥事件的概率、離散型隨機事件的分布列及期望等知識，考查利用所學知識分析問題、解決問題的能力．