Question

【題目】已知函數f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，（a∈R）． （Ⅰ）當a=1時，求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若函數f（x）在（0， ）上無零點，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=x﹣1﹣2lnx，則f′（x）=1﹣ ， 由f′（x）＞0，得x＞2，由f′（x）＜0，得0＜x＜2，
故f（x）的單調減區間為（0，2]，單調增區間為[2，+∞）；
（Ⅱ）因為f（x）＜0在區間（0， ）上恒成立不可能，
故要使函數f（x）在（0， ）上無零點，
只要對任意的x∈（0， ），f（x）＞0恒成立，
即對x∈（0， ），a＞2﹣ 恒成立．
令h（x）=2﹣ ，x∈（0， ），
則h′（x）= ，
再令m（x）=2lnx+ ﹣2，x∈（0， ），
則m′（x）= ＜0，
故m（x）在（0， ）上為減函數，
于是，m（x）＞m（ ）=4﹣3ln3＞0，
從而h（x）＞0，于是h（x）在（0， ）上為增函數，
所以h（x）＜h（ ）=2﹣3ln3，
∴a的取值范圍為[2﹣3ln3，+∞）
【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（Ⅱ）問題轉化為x∈（0， ），a＞2﹣ 恒成立，令h（x）=2﹣ ，x∈（0， ），根據函數的單調性求出h（x）的最大值，從而求出a的范圍即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．