Question

選修4-4坐標系與參數方程
已知直線l過定點P(-3，-

3

2

)與圓C：

x=5cosθ y=5sinθ

(θ為參數)相交于A、B兩點．
求：（1）若|AB|=8，求直線l的方程；
（2）若點P(-3，-

3

2

)為弦AB的中點，求弦AB的方程．

Answer 1

分析：（1）分類討論直線l的斜率存在與不存在兩種情況，把圓C的方程化為普通方程，利用弦長|AB|=2

r2-d2

（d為圓心到直線l的距離）即可求出；
（2）利用OP⊥AB的關系求出直線AB的斜率，進而求出方程．

解答：解：（1）①當直線l的斜率存在時，設直線l的斜率為k，則y+

3

2

=k(x+3)，
由圓C：

x=5cosθ y=5sinθ

(θ為參數)消去參數θ化為x²+y²=25，圓心C （0，0），半徑r=5．
∴圓心C （0，0）到直線l的距離d=

|3k- 3 2 |

k2+1

，
∵|AB|=8，∴8=2

52-( |3k- 3 2 | k2+1 )2

，化為k=-

3

4

，
∴直線l的方程為y+

3

2

=-

3

4

(x+3)，即3x+4y+15=0；
②當直線l的斜率不存在時，l的方程為x=-3，滿足|AB|=8，適合題意．
（2）∵k_OP=

- 3 2

-3

=

1

2

，AB⊥OP，∴k_AB=-2．
∴直線AB的方程為y+

3

2

=-2(x+3)，化為4x+2y+15=0
聯立

4x+2y+15=0 x2+y2=25

，解得x=

-12± 41

4

．
∴弦AB的方程為4x+2y+15=0(

-12- 41

4

≤x≤

-12+ 41

4

)．

點評：熟練掌握分類討論的思想方法、弦長|AB|=2

r2-d2

（d為圓心到直線l的距離）公式、互相垂直的直線之間的斜率關系是解題的關鍵．