Question

【題目】已知，，其中均為實數.

（I）求的極值；

（II）設，，求證：對，恒成立.

（III）設，若對給定的，在區間上總存在使得成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（I）極大值，無極小值；（II）證明見解析；（III）.

【解析】

試題分析：（I）求出函數的導數，利用導函數的符號判斷函數的單調性，然后求解極值；（II）通過，，化簡，利用函數的單調性，轉化原不等式轉化，構造函數，利用新函數的導數的單調性，證不等式成立；（III）由（1）得的最大值，求出函數的導數，判斷，不滿足題意；當時，要使得，的極值點必在區間內，求出的范圍，當，利用在上的值域包含于在和上的值域，推出關系式，通過構造函數，通過導數求解函數的最值，然后推出.

試題解析：（I）∵，∴，∴，，∴極大值，無極小值；

（II）∵，，

∴，在上是增函數.

∴，在上是增函數.

設，則原不等式轉化為，

即.

令，

即證，，即在，

∵在恒成立，

即在，即所證不等式成立.

（III）由（I）得在，，，

所以.

又，當時，，在，不符合題意.

當時，要使得，

那么由題意知的極值點必在區間內，即.

得，且函數在，，

由題意得在上的值域包含于在和上的值域.

∴內，.

下面證時，，取，先證，即證.

令，∴，在內恒成立.

∴，∴，∴.

再證，∵，∴.