Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，Q是棱PA上的動點．
（Ⅰ）若Q是PA的中點，求證：PC∥平面BDQ；
（Ⅱ）若PB=PD，求證：BD⊥CQ；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若PA=PC，PB=3，∠ABC=60°，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

（Ⅰ）證明：連接AC，交BD于O．
因為底面ABCD為菱形，所以O為AC中點．
因為Q是PA的中點，所以OQ∥PC，
因為OQ?平面BDQ，PC?平面BDQ，
所以PC∥平面BDQ．…（5分）
（Ⅱ）證明：因為底面ABCD為菱形，
所以AC⊥BD，O為BD中點．
因為PB=PD，所以PO⊥BD．
因為PO∩BD=O，所以BD⊥平面PAC．
因為CQ?平面PAC，所以BD⊥CQ．…（10分）
（Ⅲ）因為PA=PC，所以△PAC為等腰三角形．
因為O為AC中點，所以PO⊥AC．
由（Ⅱ）知PO⊥BD，且AC∩BD=O，所以PO⊥平面ABCD，即PO為四棱錐P-ABCD的高．
因為四邊形是邊長為2的菱形，且∠ABC=60°，所以BO=

3

，
所以PO=

6

．
所以VP-ABCD=

1

3

×2

3

×

6

=2

2

，即VP-ABCD=2

2

．…（14分）