Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且

sinA

a

=

3 cosC

c

．
（1）求角C的大�。�
（2）如果a+b=6，

CA

•

CB

=4，求c的值．

Answer 1

分析：（1）根據正弦定理得到一個關系式，然后與已知條件聯立即可求出tanC的值，根據C的范圍和特殊角的三角函數值即可求出C的度數；
（2）由（1）中C的度數，求出cosC的值，然后利用平面向量的數量積的運算法則化簡

CA

•

CB

=4，即可求出ab的值，利用余弦定理得到一個關系式，再由a+b的值和求出的ab代入關系式即可求出c的值．

解答：解：（1）因為

a

sinA

=

c

sinC

，

sinA

a

=

3 cosC

c

，
所以sinC=

3

cosC，即tanC=

3

，
由C∈（0，π），得到C=

π

3

；
（2）由（1）得：cosC=cos

π

3

=

1

2

則

CA

•

CB

=|

CA

|•|

CB

|cosC=

1

2

ab，又

CA

•

CB

=4，所以ab=8，
又因為a+b=-6，根據余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-3ab=12，
由c＞0，解得c=2

3

．

點評：此題考查學生靈活運用正弦、余弦定理及平面向量的數量積的運算法則化簡求值，是一道綜合題．