Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)拋物線上一點(diǎn)作拋物線的切線，交軸于點(diǎn).

（1）判斷的形狀；

（2） 若兩點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)滿足，若拋物線上存在異于的點(diǎn)，使得經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓與拋物線在點(diǎn)處的有相同的切線，求點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】(1) 為等腰三角形.

(2) 點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【解析】分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求得切線方程，令，可求得點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)半徑公式，即可求得，則為等腰三角形；（2）根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求得點(diǎn)坐標(biāo)，分別求得及的中垂線方程，即可求得外接圓的圓心，由，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo).

詳解：（1）設(shè)，

∵，∴，

則切線的方程為，即，

∴，

∵，∴

所以為等腰三角形.

（2）設(shè)，

∵，∴是的中點(diǎn)，

∴，

∵在拋物線上，

∴，

∴或

∴兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)（），

則由①②得圓心

由得，

∴或，

∵，

∴

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.