Question

【題目】已知函數f（x）=logax（a＞0且a≠1）在區間[1，2]上的最大值與函數g（x）=﹣ 在區間[1，2]上的最大值互為相反數．
（1）求a的值；
（2）若函數F（x）=f（x2﹣mx﹣m）在區間（﹣∞，1﹣ ）上是減函數，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數g（x）=﹣ 在區間[1，2]上為增函數，

故當x=2時，函數取最大值﹣2，

故函數f（x）=logax（a＞0且a≠1）在區間[1，2]上的最大值為2，

若0＜a＜1，則當x=1時，f（x）=logax取最大值0，不滿足條件；

若a＞1，則當x=2時，f（x）取最大值loga2=2，

解得：a= ，

綜上可得：a= ；

（2）解：若函數F（x）=f（x2﹣mx﹣m）在區間（﹣∞，1﹣ ）上是減函數，

則t=x2﹣mx﹣m在區間（﹣∞，1﹣ ）上是減函數，

且x2﹣mx﹣m＞0在區間（﹣∞，1﹣ ）上恒成立，

即 ≥1﹣ 且（1﹣ ）2﹣m（1﹣ ）﹣m≥0，

解得：m∈[2﹣2 ，2]．

【解析】（1）函數g（x）=﹣ 當x=2時，函數取最大值﹣2，故函數f（x）=logax（a＞0且a≠1）在區間[1，2]上的最大值為2，進而可得a的值；（2）若函數F（x）=f（x2﹣mx﹣m）在區間（﹣∞，1﹣ ）上是減函數，則t=x2﹣mx﹣m在區間（﹣∞，1﹣ ）上是減函數，且x2﹣mx﹣m＞0在區間（﹣∞，1﹣ ）上恒成立，進而得到實數m的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解復合函數單調性的判斷方法的相關知識，掌握復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律：“同增異減”，以及對函數的最值及其幾何意義的理解，了解利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值．