Question

已知函數f（x）=ln（1+x²）+ax（a≤0）．
（1）若f（x）在x=0處取得極值，求a的值；
（2）討論f（x）的單調性；
（3）證明：（1+

1

4

）（1+

1

16

）…（1+

1

4n

）＜e1-

1

2n

（n∈N^*，e為自然對數的底數）

Answer 1

（1）f′（x）=

2x

1+x2

+a，
∵x=0是f（x）的一個極值點，∴f′（0）=0，
∴a=0
∵x＜0，f′（x）＜0；x＞0，f′（x）＞0
∴a=0符合條件…（3分）
（2）f′（x）=

2x

1+x2

+a=

ax2+2x+a

1+x2

．…（4分）
①若a=0時，由（1）知，f（x）在（0，+∞）單調遞增，在（-∞，0）單調遞減；…（5分）
②若

a＜0 △≤0

，即當a≤-1時，f'（x）≤0對x∈R恒成立．
∴f（x）在（-∞，+∞）上單調遞減．…（6分）
③若當-1＜a＜0時，由f'（x）＞0得ax²+2x+a＞0，∴

-1+ 1-a2

a

＜x＜

-1- 1-a2

a

．
再令f'（x）＜0可得x＞

-1- 1-a2

a

或x＜

-1+ 1-a2

a

．
∴f（x）在（

-1+ 1-a2

a

，

-1- 1-a2

a

）上單調遞增，在（-∞，

-1+ 1-a2

a

），（

-1- 1-a2

a

，+∞）上單調遞減．…（9分）
（3）證明：由（2）知，當a=-1時，f（x）在（-∞，+∞）上單調遞減；
當x∈（0，+∞）時，由f（x）=ln（1+x²）-x＜f（0）=0，∴ln（1+x²）＜x
∴ln[(1+

1

4

)(1+

1

16

)…(1+

1

4n

)]=ln(1+

1

2

)+ln(1+

1

22

)+…+ln(1+

1

2n

)＜

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

∴(1+

1

4

)(1+

1

16

)…(1+

1

4n

)＜e1-

1

2n

．…（14分）