Question

(本小題滿分16分)已知橢圓：的左、右焦點分別為，下頂點為，點是橢圓上任一點，⊙是以為直徑的圓.

（Ⅰ）當⊙的面積為時，求所在直線的方程；
（Ⅱ）當⊙與直線相切時，求⊙的方程；
（Ⅲ）求證：⊙總與某個定圓相切.

Answer 1

PA 或
M

（Ⅰ）易得，設點P，
則，所以  3分
又⊙的面積為，∴，解得，∴，
∴所在直線方程為或    5分
（Ⅱ）因為直線的方程為，且到直線的
距離為   7分
化簡，得，聯立方程組，
解得或   10分
∴當時，可得，∴⊙的方程為；
當時，可得，∴⊙的方程為   12分
（Ⅲ）⊙始終和以原點為圓心，半徑為（長半軸）的圓（記作⊙）相切 13分
證明：因為，
又⊙的半徑，
∴，∴⊙和⊙相內切     16分
（說明：結合橢圓定義用幾何方法證明亦可）