Question

【題目】已知函數，為其導函數，且時有極小值-9.

（1）求的單調遞減區間；

（2）若，，當時，對于任意，和的值至少有一個是正數，求實數的取值范圍；

（3）若不等式（為正整數）對任意正實數恒成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3).

【解析】

試題分析：(1)先求函數的解析式,再運用導數求解；

(2)借助題設條件分類分析推證求解；

(3)借助題設構造函數,運用分析推證的方法求解.

試題解析：

（1）由，因為函數在時有極小值-9，

所以，從而得，，

所求的，所以，

由解得，所以的單調遞減區間為（-1,3）.

（2）由，故，

當時，若，則，滿足條件；

若，則，滿足條件；

若，.

①如果對稱軸，即時，的開口向上，

故在上單調遞減，又，所以當時，.

②如果對稱軸，即時，，

解得，故時，；

所以的取值范圍為；

（3）因為，所以等價于

，即，

記，則，

由，得，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

所以，

對任意正實數恒成立，等價于，即，

記，則，

所以在上單調遞減，又，，

所以的最大值為6.