Question

如圖，已知三棱柱的側棱與底面垂直，，，，分別是，的中點，點在直線上，且；
（Ⅰ）證明：無論取何值，總有；
（Ⅱ）當取何值時，直線與平面所成的角最大？并求該角取最大值時的正切值；
（Ⅲ）是否存在點，使得平面與平面所成的二面角為30º，若存在，試確定點的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）略
（2）∴當＝時，θ取得最大值，此時sinθ=,cosθ=,tanθ="2"
（3）∴不存在點P使得平面PMN與平面ABC所成的二面角為30º

本題主要考查了直線與平面所成的角，以及直線與平面垂直的性質，考查空間想象能力，屬于基礎題．
（1）以AB，AC，AA₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系A-xyz，分別求出 PN,AM
的坐標，要證PN⊥AM，只需求證它們的數量積為零即可；
（2）過P作PE⊥AB于E，連接EN，則∠PNE為直線PN與平面ABC所成的角θ，求出此角的正切值，然后研究其最大值即可求出λ的值．
(3)假設存在，則，設是平面PMN的一個法向量,那么利用向量的坐標得到參數的值，進而判定方程有無解，說明結論。