Question

給出下列四個命題：
①如果命題“¬p”與命題“p或q”都是真命題，那么命題q一定是真命題；
②已知向量，滿足，且，則與的夾角為；
③若函數f（x+1）是奇函數，f（x-1）是偶函數，且f（0）=2，則f（2012）=2；
④已知函數是偶函數，函數，若函數f（x）的圖象與函數g（x）的圖象有且只有一個公共點，則實數a的取值范圍是（1，+∞）．
其中正確命題的序號為    ．

Answer 1

【答案】分析：根據復合命題真假性的真值表，可判斷出命題“p”為假命題，進而命題“q”是真命題，可判斷（1）；
根據向量夾角公式，結合已知求出兩個向量的夾角，可判斷（2）；
根據已知，結合函數奇偶性的定義，分析出函數的周期性，進而求出f（2012）的值，可判斷（3）；
根據函數奇偶性的定義，求出k值，進而根據函數f（x）的圖象與函數g（x）的圖象有且只有一個公共點，求出實數a的取值范圍，可判斷（4）．
解答：解：若命題“¬p”與命題“p或q”都是真命題，則命題“p”為假命題，命題“q”是真命題，故①正確；
若，且，則與的夾角θ滿足，cosθ==，則與的夾角為，故②錯誤；
若函數f（x+1）是奇函數，f（x+1）=-f（-x+1），若f（x-1）是偶函數，則f（x-1）=f（-x-1）
故f（x+4）=f（x+3+1）=-f[-（x+3）+1]=-f（-x-2）=-f[-（x+1）-1]=-f（x+1-1）=-f（x）
則f（x+8）=-f（x+4）=f（x），即函數f（x）的周期為8，由f（0）=2，則f（2012）=f（4）=-2，故③錯誤；
由f（x）為偶函數，故log₄（4^-x+1）-kx=log₄（4^x+1）+kx對所有x∈R都成立，即（2k+1）x=0對所有x∈R都成立，故k=-．
由方程log4（4x+1）-x=（*）
可變形為，由②得或，
令2^x=t，則，或
由①得（a-1）（2x）2-a•2x-1=0，設h（t）=（a-1）t2-at-1
∴當a＞0時，（a-1）h（）＜0⇒a＞1，
當a＜0時，h（0）=-1＜0，h（）＞0⇒a不存在，
當△=（-a）2+4（a-1）=0時，a=或a=-3，
若a=，則t=-2，不合題意，舍去，若a=-3，則t=，滿足題意，
∴當a=-3或a＞1時，函數f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，故④錯誤
故答案為：①
點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了函數的奇偶性與周期性，復合命題，向量夾角公式等知識點，其中（3）（4）是函數圖象和性質的綜合應用，難度非常大．