Question

（A）已知p：方程x²+mx+1=0有兩個不相等的實數根；q：方程x²-4x-m=0沒有實數根．若p且q為真命題，求實數m的取值范圍．
（B）已知p：方程x²+mx+1=0有兩個不相等的實數根；q：方程x²-4x-m=0沒有實數根．若p或q為真命題，p且q為假命題，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（A）方程x²+mx+1=0有兩個不相等的實數根
即△=m²-4＞0，m＜-2或者m＞2
方程x²-4x-m=0沒有實數根
即△=16+4m＜0，m＜-4
P且q為真命題，故p，q都為真命題．
故m＜-4即m∈（-∞，-4）
（B）方程x²+mx+1=0有兩個不相等的實數根
即△=m²-4＞0，m＜-2或者m＞2
方程x²-4x-m=0沒有實數根
即△=16+4m＜0，m＜-4
p或q為真命題，p且q為假命題，故p真q假或者p假q真
若p真q假，則-4≤m＜-2或者m＞2
若p假q真，則無實數解
故-4≤m＜-2或者m＞2即m∈[-4，-2）∪（2，+∞）．
分析：（A）根據一元二次方程根的個數與△的關系，我們可以求出命題p為真命題時，參數m的取值范圍，及命題q為真時，參數m的取值范圍，進而根據p且q為真命題，則命題p和命題q均為真命題，求出實數m的取值范圍．
（B）根據一元二次方程根的個數與△的關系，我們可以求出命題p為真命題時，參數m的取值范圍，及命題q為真時，參數m的取值范圍，進而根據p或q為真命題，p且q為假命題，可知命題p與命題q中一個為真，一個為假，進而分類討論后，即可得到答案．
點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，其中根據一元二次方程根的個數與△的關系，分別求出命題p為真命題時，及命題q為真時，參數m的取值范圍，是解答本題的關鍵．