Question

設函數f(x)=|1-

1

x

|，x＞0，
（1）證明：當0＜a＜b，且f（a）=f（b）時，ab＞1；
（2）點P （x₀，y₀） （0＜x₀＜1 ）在曲線y=f（x）上，求曲線在點P處的切線與x軸和y軸的正向所圍成的三角形面積表達式（用x₀表達）．

Answer 1

分析：（1）f（x）中含有絕對值，按x≥1和x＜1兩段去絕對值，易判f（x）在（0，1）和（1，+∞）上都是單調函數，
由f（a）=f（b）可得a＜1，b＞1，代入f（x）中可得a和b的關系．
（2）曲線在點P處的切線斜率為f′（x₀），由點斜式寫出切線方程，分別令x=0和y=0求出切線與兩坐標軸的交點，
再用三角形面積公式求面積．

解答：證明：（I）∵f(x)=|1-

1

x

|=

1 x -1，x∈(0，1] 1- 1 x ，x∈(1，+∞)

故f（x）在（0，1]上是減函數，而在（1，+∞）上是增函數，由0＜a＜b且f（a）=f（b）得0＜a＜1＜b和

1

a

-1=1-

1

b

，即

1

a

+

1

b

=2?2ab=a+b＞2

ab

故

ab

＞1，即ab＞1
（II）0＜x＜1時，y=f(x)=|1-

1

x

|=

1

x

-1，∴f′(x0)=-

1

x 2 0

，0＜x0＜1
曲線y=f（x）在點P（x₀，y₀）處的切線方程為：y-y0=-

1

x 2 0

(x-x0)，即y=-

x

x 2 0

+

2-x0

x0

∴切線與x軸、y軸正向的交點為(x0(2-x0)，0)和(0，

1

x0

(2-x0))
故所求三角形面積聽表達式為：A (x0)=

1

2

x0(2-x0)•

1

x0

(2-x0)=

1

2

(2-x0)2

點評：本題考查含有絕對值的函數問題、基本不等式、導數、切線等知識，綜合性強，考查對知識的運用能力．