Question

已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=

1

2

AB=1，M是PB的中點．
（1）求AC與PB所成的角的余弦值；
（2）求二面角P-AC-M的余弦值；
（3）在棱PC上是否存在點N，使DN∥平面AMC，若存在，確定點N位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：方法一：（1）以A為坐標原點，AD，AB，AP方向為X，Y，Z軸正方向建立空間坐標系，分別求出直線AC與PB的言論自由向量，代入向量夾角公式，即可求出AC與PB所成的角的余弦值；
（2）分別求出平面PAD與平面ACM的方向向量，代入向量夾角公式，即可求出二面角P-AC-M的余弦值；
（3）設

PN

=λ

PC

=λ(1，1，-1)，根據DN∥平面AMC，則直線DN的方向向量與平面AMC的法向量垂直，數量積為0，我們可以構造出關于λ的方程，解方程求出λ的值，即可確定N點位置．
方法二：（1）過B作BE∥PA，且BE=PA，連接CE、AE，則∠CAE即為AC與PB所成的角，解三角形CAE，即可求出AC與PB所成的角的余弦值；
（2）取PC中點N連MN，則MN∥BC，進而MN⊥平面PAC．取AC中點H，連NH，MH，可證得∠MHN即為二面角P-AC-M的平面角．解三角形MHN，即可求出二面角P-AC-M的余弦值；
（3）連DB交AC于點F，取PM中點G，連DG、FM，則DG∥FM，由三角形中位定理，可得DG∥FM，由線面平行的判定定理可得DG∥平面AMC，連DN，同理可證GN∥平面AMC，由面面平行的判定定理可得：平面DGN∥平面AMC，再由面面平行的性質定理即可得到DN∥平面AMC．

解答：解：[方法一]
（1）如圖建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），B（0，2，0），M（0，1，

1

2

），
∴

AC

=(1，1，0)，

PB

=(0，2，-1)，
∴|cos?

AC

，

PB

＞|=

| AC • PB |

| AC |•| PB |

=

2

2 × 5

=

10

5

．（4分）
（2）設平面AMC的一個法向量為

n

=(x，y，z)，∵

AC

=(1，1，0)，

AM

=(0，1，

1

2

)，
∴

n

•

AC

=x+y=0，

n

•

AM

=y+

1

2

z=0．
令x=1，則y=-1，z=2，
∴

n

=(1，-1，2)．
∵

BC

•

AC

=(1，-1，0)•(1，1，0)=0，

BC

•

AP

=(1，-1，0)•(0，0，1)=0，
∴

BC

是平面PAC的一個法向量，
∴cos?

n

，

BC

＞=

n • BC

| n |•| BC |

=

2

6 2

=

3

3

．
∴二面角P-AC-M的余弦值為

3

3

．（8分）
（3）存在，N為PC中點．
設

PN

=λ

PC

=λ(1，1，-1)，
則

DN

=

DP

+

PN

=

DP

+λ

PC

=(-1，0，1)+λ(1，1，-1)=(λ-1，λ，1-λ)．
依題意

DN

•

n

=(λ-1，λ，1-λ)•(1，-1，2)=1-2λ=0，
∴λ=

1

2

，∴

PN

=

1

2

PC

，即N為PC中點．（12分）
[方法二]（1）如圖，過B作BE∥PA，且BE=PA，
連接CE、AE，則∠CAE即為AC與PB所成的角，
由已知可得AC=

2

，AE=

5

，CE=

3

，
∴cos∠CAE=

10

5

．（4分）
（2）取PC中點N連MN，則MN∥BC，
∴MN⊥平面PAC．
取AC中點H，連NH，MH，
則NH⊥AC，MH⊥AC，∴∠MHN即為二面角P-AC-M的平面角．
由NH=

1

2

PA=

1

2

，MN=

1

2

BC=

2

2

，∴MH=

3

2

，
∴cos∠MHN=

3

3

．（8分）
（3）存在，PC中點N即為所求．
連DB交AC于點F，
∵DC=

1

2

AB，
∴DF=

1

2

FB，
取PM中點G，連DG、FM，則DG∥FM，
又DG?平面AMC，FM?平面AMC，
∴DG∥平面AMC，
連DN，則GN∥MC，同理可證GN∥平面AMC，又GN∩DG=D，
∴平面DGN∥平面AMC，
∴DN∥平面AMC．（12分）

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，異面直線及其所成的角及直線與平面平行的判定，方法一（向量法）是關鍵是建立適當的空間坐標系，將空間直線與平面間的位置關系及夾角問題轉化為向量的夾角問題，方法二（幾何法）的關鍵是熟練掌握空間中直線與平面平行及垂直的定義、判定、性質及幾何特征，建立良好的空間想像能力．