Question

如圖，AC是圓O的直徑，點B在圓O上，，交AC于點M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1,

（1）證明；
（2）（文科）求三棱錐的體積
（理科）求平面和平面所成的銳二面角的正切值.

Answer 1

(1)詳見解析；（2）（文科）；（理科）1

試題分析：(1)要證明直線和直線垂直，只需證明線和面垂直，由 ,∴面,從而,在梯形中，證明，從而面，∴；（2）（文科）求三棱錐的體積，關鍵是確定三棱錐的高，往往需要等體積轉化，，可得；（2）理科,題中未給出兩個半平面的交線，首先確定交線，延長交于，連結，然后先找二面角的平面角，再計算，過做，垂足,連接，證明面，則，就是所求二面角的平面角，計算即得結果.
試題解析：⑴∵EA⊥面ABC,BM面ABC,∴EA⊥MB，∴MB⊥AC,AC∩EA=A,∴MB⊥面ACEF，
∵EM面ACEF,∴EM⊥MB，在直角梯形ACEF中,EA=3,FC=1,AC=4，∴EF=，在Rt△ABC中, ∵
∠BAC＝30°,BM⊥AC，∴AM=3,CM=1，∴EM=,MF=，∵EF²=EM²+MF²，∴EM⊥MF,  
又MB∩MF=M，∴EM⊥面MBF,  ∵BF面MBF，∴EM⊥BF       8分
⑵(文科) 由(1)知,　MB⊥面ACFE   ∴，在直角梯形ACEF中，，，∴       14分
(理科)延長ＥＦ交ＡＣ于Ｈ，連結ＢＨ，過Ｃ做ＣＧ⊥ＢＨ，垂足Ｇ，ＦＣ∥ＥＡ，EA⊥面ABC，
∴ＦＣ⊥面ABC，∵ＢＨ面AＢC，∴ＢＨ⊥ＦＣ，∵ＦＣ∩ＣＧ＝Ｃ，∴ＢＨ⊥面ＦCＧ，∵ＦＧ面ＦCＧ，∴ＢＨ⊥ＦＧ，∴∠ＣＧＦ為平面BEF與平面ABC所成的二面角的平面角，在直角梯形ACEF中，ＣＨ＝2，,在△ＢＣＨ中，ＣＨ＝２，ＢＣ＝２，∠ＢＣＨ＝，∴CG=1,在Rt△CGF中,FC=1，
∴∠ＣＧＦ=，平面BEF與平面ABC所成的銳二面角正切值為1       14分