Question

【題目】如圖所示，直三棱柱的底面為正三角形，分別是的中點．

（1）證明：平面平面；

（2）若為中點，且，設三棱錐的體積為，三棱錐與三棱錐的公共部分的體積為，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

試題分析：（1）證明平面，而平面，可證平面平面；

（2）由可得，從而得出，于是，設，過過作于，連接，則由∽得出，從而

試題解析：（1）證明,如圖，因為三棱柱是直三棱柱，所以，

又是正三角形的邊的中點，所以，又

所以平面，而平面，

所以平面平面．

（2）解：因為是正三角形，所以，又三棱柱是直三棱柱，所以，

所以平面，所以．

由題可知，，所以．

在中，，所以．

故三棱錐的體積．

設,

過作于，連接，

∵∽,∴,

∴．

∵，．

三棱錐與三棱錐的公共部分為三棱錐，

∴，

∴．