Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+c在點M（1，f（1））處的切線方程為3x-y+1=0，且在x=

2

3

處有極值．
（1）求函數y=f（x）的解析式；  
（2）求函數y=f（x）的極大值與極小值．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值

專題：計算題,導數的概念及應用,導數的綜合應用

分析：（1）求出函數的導數，求出切點，由已知切線斜率，得到方程，解出a，b，c即可；
（2）運用導數大于0和小于0，求出單調增區間和減區間，進而得到極大值和極小值．

解答： 解：（1）由題意得 M（1，4），f′（x）=3x²+2ax+b，
即有

f(1)=1+a+b+c=4 f′(1)=3+2a+b=3 f′( 2 3 )= 4 3 + 4 3 a+b=0

解得，a=2，b=-4，c=5
則f（x）=x³+2x²-4x+5；
（2）f′（x）=3x²+4x-4，
令f′（x）=0得x=-2或

2

3

，
當x＞

2

3

或x＜-2時，f′（x）＞0，f（x）遞增，
當-2＜x＜

2

3

時，f′（x）＜0，f（x）遞減，
則x=-2時，f（x）取得極大值，且為-8+8+8+5=13，
當x=

2

3

時，f（x）取得極小值，且為

8

27

+

8

9

-

8

3

+5=

95

27

．

點評：本題考查導數的運用：求切線方程和求極值，考查運算能力，屬于基礎題．