Question

試比較下列各式的大小（不寫過程）
（1）

2

-1與

3

-

2

；
（2）

3

-

2

與

4

-

3

通過上式請你推測出

n

-

n-1

與

n+1

-

n

，n≥2，n∈N^*的大小，并加以證明．

Answer 1

（1）因為(

2

-1)-(

3

-

2

)=2

2

-(

3

+1)，而(2

2

)2-(

3

+1)2=4-2

3

=

16

-

12

＞0，
所以

2

-1＞

3

-

2

；
（2）因為(

3

-

2

)-(

4

-

3

)=2

3

-(

4

+

2

)，而(2

3

)2-(

4

+

2

)2=

36

-

32

＞0，
所以

3

-

2

＞

4

-

3

；
由上推測

n

-

n-1

＞

n+1

-

n

，n≥2，n∈N^*．
事實上，(

n

-

n-1

)-(

n+1

-

n

)=2

n

-(

n-1

+

n+1

)，
因為(2

n

)2-(

n-1

+

n+1

)2=2n-2

n-1

n+1

=(

n-1

-

n+1

)2＞0．