Question

已知偶函數f（x）周期為2，且當x∈[0，1]時，f（x）=2x，如果在區間[-1，3]內，函數F（x）=f（x）-kx-k-2（k∈R且k≠-2）有4個不同的零點，則k的取值范圍是

1. A.
   
2. B.
   （-1，0）
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：在同一坐標系內作出y=f（x）圖象和動直線l：y=kx+k+2，觀察直線l可得：當函數F（x）=f（x）-kx-k-2（k∈R且k≠-2）有4個不同的零點時，直線l的活動范圍應該在圖中兩條虛線之間，從而通過求直線斜率得到k取值范圍．
解答：解：∵偶函數f（x）當x∈[0，1]時，f（x）=2x，
∴當x∈[-1，0]時圖象與x∈[0，1]時關于y軸對稱，
故x∈[-1，0]時f（x）=-2x，
又∵f（x）是以2為周期的函數，
∴將函數f（x）在[-1，1]上的圖象向左和向右平移2的整數倍個單位，可得f（x）在R上的圖象．
∵直線l：y=kx+k+2經過定點（-1，2），斜率為k
∴直線l的圖象是經過定點（-1，2）的動直線．（如右圖）
在同一坐標系內作出y=f（x）和動直線l：y=kx+k+2，當它們有4個公共點時，函數F（x）=f（x）-kx-k-2（k∈R且k≠-2）有4個不同的零點，∴直線l的活動范圍應該介于兩條虛線之間，而兩條虛線的斜率k₁=0，k₂==-，
故直線l的斜率k∈（-，0）
故選D
點評：本題考查根的個數的應用和數形結合思想的應用，考查了函數的周期性、奇偶性和直線的斜率等知識點，屬于中檔題．