Question

設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為e=

3

2

，M是橢圓C上的一點，且點M到橢圓C兩焦點的距離之和為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過橢圓C的左頂點A的直線l交橢圓于另一點B，P（0，t）是y軸上一點，滿足|PA|=|PB|，

PA

•

PB

=4，求實數t的值．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：平面向量及應用,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）根據橢圓的定義與離心率求出b²與a²，得橢圓C的標準方程；
（2）由題意得P是線段AB垂直平分線上的點，討論AB⊥y軸和AB與y軸不垂直時，求出t的值．

解答： 解：（1）根據題意得，2a=4，∴a=2；
又∵e=

c

a

=

3

2

，∴c=

3

；
∴b²=a²-c²=4-3=1，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y²=1；
（2）∵P（0，t）是y軸上一點，且|PA|=|PB|，
∴P是線段AB垂直平分線上的點；
∴①當AB⊥y軸時，A（-2，0），B（2，0），
則

PA

=（-2，-t），

PB

=（2，-t）；
∴

PA

•

PB

=-4+t²=4，
解得t=±2

2

；
②當AB與y軸不垂直時，設B（x₁，y₁）（y₁≠0），∴AB的中點為（

x1-2

2

，

y1

2

），
則線段AB的垂直平分線方程為y-

y1

2

=-

x1+2

y1

（x-

x1-2

2

），
令x=0，則t=

x12-4+y12

2y1

=-

3

2

y₁，
∴

PA

=（-2，

3

2

y₁），

PB

=（x₁，

5

2

y₁），
∴

PA

•

PB

=-2x₁+

15

4

y12=-2x₁+

15

4

•

4-x12

4

=4，
∴x₁=-

2

15

或x₁=-2（舍去），
∴y₁²=

4-x12

4

=

224

225

，
∴y₁=±

4 14

15

，
∴t=±

2 14

5

，
綜上，t的值為±2

2

或±

2 14

5

．

點評：本題考查了橢圓的方程，也考查了直線與橢圓的位置關系，考查了分類討論的數學思想，考查向量的數量積公式，是難題．