Question

（本小題滿分13分）如圖，已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經過點M（2，1），平行于OM的直線L在y軸上的截距為m(m≠0)，L交橢圓于A、B兩個不同點。

（1）求橢圓的方程；

（2）求m的取值范圍；

（3）求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形。

Answer 1

（1）設橢圓方程為,則.

∴橢圓方程為                   ……………………4分

（2）∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m,     又K_OM=,

，聯立方程有 

，    ∵直線l與橢圓交于A．B兩個不同點，

        …………8分

（3）設直線MA，MB的斜率分別為k₁，k₂，只需證明k₁+k₂=0即可

設，

則   由

而

故直線MA，MB與x軸始終圍成一個等腰三角形. ……………………13分

解析:

同答案