Question

已知是橢圓上兩點，點M的坐標為.
（1）當兩點關于軸對稱，且為等邊三角形時，求的長；
（2）當兩點不關于軸對稱時，證明：不可能為等邊三角形.

Answer 1

（1）或，（2）詳見解析.

試題分析：（1）求的長，實際求出坐標.利用正三角形性質列等量關系.設,，則.又點在橢圓上，所以解得或，或，（2）本題實際應用逆否命題與原命題等價進行解題，即當為等邊三角形時，兩點必關于軸對稱，即橫坐標相等.設，則由，可化簡，同理可得，而，因此或又所以.
試題解析：解：
（1）設,，                   1分
因為為等邊三角形，所以.                2分
又點在橢圓上，
所以消去，                  3分
得到，解得或，                 4分
當時，；
當時，.                   5分
{說明：若少一種情況扣2分}
（2）法1：根據題意可知，直線斜率存在.
設直線:，，，中點為，
聯立消去得，         6分
由得到①              7分
所以,
，              8分
所以，又
如果為等邊三角形，則有，             9分
所以，即，               10分
化簡，②               11分
由②得，代入①得，
化簡得，不成立，                 13分
{此步化簡成或或都給分}
故不能為等邊三角形.                  -14分
法2：設，則，且，
所以，        8分
設，同理可得，且        9分
因為在上單調
所以，有，                11分
因為不關于軸對稱，所以.
所以，                -13分
所以不可能為等邊三角形.                14分