Question

在區間（0，2）內任取兩數m，n（m≠n），則橢圓

x2

m2

+

y2

n2

=1的離心率大于

3

2

的概率是______．

Answer 1

區間（0，2）內任取兩個實數計為（m，n），
則點對應的平面區域為下圖所示的正方形，
當m＞n時，橢圓

x2

m2

+

y2

n2

=1的離心率e=

m2-n2

m

＞

3

2

，化簡得，m＞2n；
當M＜n時，橢圓

x2

m2

+

y2

n2

=1的離心率e=

n2-m2

n

＞

3

2

，化簡得，n＞2m；
故其中滿足橢圓

x2

m2

+

y2

n2

=1的離心率大于

3

2

時，有m＞2n或n＞2m．
它表示的平面區域如下圖中陰影部分所示：
其中正方形面積S=4，陰影部分面積S_陰影=2×

1

2

×2×1=2．
∴所求的概率P=

S陰影

S

=

1

2

故答案為：

1

2

．