Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，SA⊥CD，AB⊥平面SAD，點M是SC的中點，且SA=AB=BC=1，AD=

1

2

．
（1）求四棱錐S-ABCD的體積；
（2）求證：DM∥平面SAB；
（3）求直線SC和平面SAB所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）先證明側棱SA⊥底面ABCD，再求四棱錐S-ABCD的體積；
（2）取SB的中點N，證明四邊形MNAD是平行四邊形，即可證明DM∥平面SAB；
（3）證明∠BSC是直線SC和平面SAB所成的角，在Rt△SBC中，即可求解．

解答：（1）解：∵AB⊥底面SAD，SA?底面SAD，AD?底面SAD
∴AB⊥SA，AB⊥AD
∵SA⊥CD，AB、CD是平面ABCD內的兩條相交直線
∴側棱SA⊥底面ABCD
∴四棱錐S-ABCD的體積為

1

3

×

1

2

×（

1

2

+1）×1×1=

1

4

；
（2）證明：取SB的中點N，則

∵點M是SC的中點，∴MN∥BC，MN=

1

2

BC
∵底面是直角梯形，BC=1，
∴AD∥BC且AD=

1

2

BC
∴MN∥AD且MN=AD
∴四邊形MNAD是平行四邊形
∴DM∥AN
∵DM?平面SAB，AN?平面SAB
∴DM∥平面SAB；
（3）解：∵側棱SA⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，∴BC⊥SA
∵AB⊥BC，AB、SA是平面SAB內的兩條相交直線
∴BC⊥平面SAB，垂足是點B
∴SB是SC在平面SAB內的射影，BC⊥SB
∴∠BSC是直線SC和平面SAB所成的角
∵在Rt△SBC中，BC=1，SB=

2

，∴SC=

3

∴sin∠BSC=

BC

SC

=

3

3

∴直線SC和平面SAB所成的角的正弦值是

3

3

．

點評：本題考查四棱錐的體積，考查線面平行，考查線面角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．