Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓 的離心率為，兩條準(zhǔn)線之間的距離為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，點(diǎn)在圓上，直線與橢圓相交于另一點(diǎn)，且的面積是的面積的倍，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2），

【解析】試題分析：（1）根據(jù)兩條準(zhǔn)線之間的距離為，聯(lián)立離心率條件解得， ， .（2）由面積關(guān)系得M為AB中點(diǎn)，由直線AB點(diǎn)斜式方程與橢圓方程聯(lián)立解得B坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得M坐標(biāo)，代入圓方程解得直線AB斜率

試題解析：（1）設(shè)橢圓的焦距為，由題意得， ，

解得， ，所以.

所以橢圓的方程為.

（2）方法一：因為，

所以，

所以點(diǎn)為的中點(diǎn).

因為橢圓的方程為，

所以.

設(shè)，則.

所以①，②，

由①②得，

解得， （舍去）.

把代入①，得，

所以，

因此，直線的方程為即， .

方法二：因為，所以，所以點(diǎn)為的中點(diǎn).

設(shè)直線的方程為.

由得，

所以，解得，

所以， ，

代入得，

化簡得，

即，解得，

所以，直線的方程為即， .