Question

【題目】已知函數f（x）= 其中P，M是非空數集，且P∩M=，設f（P）={y|y=f（x），x∈P}，f（M）={y|y=f（x），x∈M}．
（I）若P=（﹣∞，0），M=[0，4]，求f（P）∪f（M）；
（II）是否存在實數a＞﹣3，使得P∪M=[﹣3，a]，且f（P）∪f（M）=[﹣3，2a﹣3]？若存在，請求出滿足條件的實數a；若不存在，請說明理由；
（III）若P∪M=R，且0∈M，I∈P，f（x）是單調遞增函數，求集合P，M．

Answer 1

【答案】解：（I）∵P=（﹣∞，0），∴f（P）={y|y=|x|，x∈（﹣∞，0）}=（0，+∞），
∵M=[0，4]，∴f（M）={y|y=﹣x2+2x，x∈[0，4]}=[﹣8，1]．
∴f（P）∪f（M）=[﹣8，+∞）
（II）若﹣3∈M，則f（﹣3）=﹣15[﹣3，2a﹣3]，不符合要求
∴﹣3∈P，從而f（﹣3）=3
∵f（﹣3）=3∈[﹣3，2a﹣3]
∴2a﹣3≥3，得a≥3
若a＞3，則2a﹣3＞3＞﹣（x﹣1）2+1=﹣x2+2x
∵P∩M=，∴2a﹣3的原象x0∈P且3＜x0≤a
∴x0=2a﹣3≤a，得a≤3，與前提矛盾
∴a=3
此時可取P=[﹣3，﹣1）∪[0，3]，M=[﹣1，0），滿足題意
（III）∵f（x）是單調遞增函數，∴對任意x＜0，有f（x）＜f（0）=0，∴x∈M
∴（﹣∞，0）M，同理可證：（1，+∞）P
若存在0＜x0＜1，使得x0∈M，則1＞f（x0）=﹣ +2x0＞x0 ，
于是[x0 ， ﹣ +2x0]M
記x1=﹣ +2x0∈（0，1），x2=﹣ +2x1 ， …
∴[x0 ， x1]∈M，同理可知[x1 ， x2]∈M，…
由xn+1=﹣ +2xn ， 得1﹣xn+1=1+ ﹣2xn=（1﹣ ）2；
∴1﹣xn=（1﹣ ）2=（1﹣xn﹣2）22=…=（1﹣x0）2n
對于任意x∈[x0 ， 1]，取[log2log（1﹣x0）（1﹣x）﹣1，log2log（1﹣x0）（1﹣x）]中的自然數nx ， 則
x∈[xnx ， xnx+1]M
∴[x0 ， 1）M
綜上所述，滿足要求的P，M必有如下表示：
P=（0，t）∪[1，+∞），M=（﹣∞，0]∪[t，1），其中0＜t＜1
或者P=（0，t]∪[1，+∞），M=（﹣∞，0]∪（t，1），其中0＜t＜1
或者P=[1，+∞），M=（﹣∞，1]
或者P=（0，+∞），M=（﹣∞，0]
【解析】（I）利用y=|x|的圖象和性質和二次函數的圖象和性質分別計算此分段函數兩支上的值域，再求其并集即可；（II）抓住線索﹣3∈P∪M，逐層深入，先判斷﹣3∈P，得a的范圍，再由已知推理縮小此范圍，最后確定a的值；（III）現根據函數的單調性確定∴（﹣∞，0）M，（1，+∞）P，再證明在（0，1）上存在分界點的話，這個分界點應具有怎樣的性質，最后根據此性質寫出滿足題意的集合P，M