Question

【題目】如圖，三棱柱中，⊥面，，

，D為AC的中點.

（Ⅰ）求證：面BD；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）連接B1C，與BC1相交于O，連接OD．根據三角形的中位線定理判定線面平行。

（Ⅱ）建立空間直角坐標系，求得面BDC1的一個法向量和面ABC的一個法向量，利用法向量求面面夾角，并判斷二面角的大小。

（I）證明：連接B1C，與BC1相交于O，連接OD．

∵BCC1B1是矩形，∴O是B1C的中點．

又D是AC的中點，∴OD//AB1． ∵AB1面BDC1，OD面BDC1，∴AB1//面BDC1．

（II）解：如圖，建立空間直角坐標系，

則C1（0，0，0），B（0，3，2），

C（0，3，0），A（2，3，0）D（1，3，0），

，，

設是面BDC1的一個法向量，則

即，取.

易知是面ABC的一個法向量.

. ∴二面角C1—BD—C的余弦值為.