Question

[選做題]在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，計20分．請把答案寫在答題紙的指定區域內．
A．（選修4-1：幾何證明選講）
過圓O外一點P分別作圓的切線和割線交圓于A，B，且PB=7，∠ABP=∠ABC，C是圓上一點使得BC=5，求線段AB的長．
B．（選修4-2：矩陣與變換）
求曲線C：xy=1在矩陣

2 2 - 2 2 2 2 2 2

對應的變換作用下得到的曲線C′的方程．
C．（選修4-4：坐標系與參數方程）
已知曲線C₁：

x=3cosθ y=2sinθ

（θ為參數）和曲線C₂：ρsin（θ-

π

4

）=

2

．
（1）將兩曲線方程分別化成普通方程；
（2）求兩曲線的交點坐標．
D．（選修4-5：不等式選講）
已知|x-a|＜

c

4

，|y-b|＜

c

6

，求證：|2x-3y-2a+3b|＜c．

Answer 1

分析：A：根據同弧所對的圓周角與弦切角相等，得到∠C=∠BAP，根據所給的兩個角相等，得到兩個三角形相似，根據相似三角形對應邊成比例，得到比例式，代入已知的長度，求出結果．
B：設P（x₀，y₀）為曲線xy=1上的任意一點，在矩陣A變換下得到另一點P'（x'₀，y'₀），根據法則

x0′ y0

=

2 2 - 2 2 2 2 2 2

x0 y0

，求出即 x₀=

2

2

（x0′+y0′），
y₀=

2

2

（ y0′-x0′ ）．再由x₀•y₀=1 可得  ( y0′)2-( x0′)2=2，從而得到曲線C′的方程．
C：把參數方程化為普通方程，把極坐標方程化為直角坐標方程，聯立方程組求得求兩曲線的交點坐標．
D：由題意可得|2x-2a|＜

c

2

，|3y-3b|＜

c

2

，故|2x-2a|+|3y-3b|＜c．再根據絕對值不等式的性質可得|2x-3y-2a+3b|≤|2x-2a|+|3y-3b|，從而證得不等式．

解答：解：A：∵∠BAC=∠APB，∠C=∠BAP，∴△PAB∽△ACB，∴

AB

BC

=

PB

AB

  AB²=PB•BC=7×5=35，∴AB=

35

．
B：設P（x₀，y₀）為曲線xy=1上的任意一點，在矩陣A變換下得到另一點P'（x'₀，y'₀），
則有

x0′ y0

=

2 2 - 2 2 2 2 2 2

 

x0 y0

，∴x₀′=

2

2

（x₀-y₀），y₀′=

2

2

（x₀+y₀），
即 x₀=

2

2

（x₀′+y₀′），y₀=

2

2

（ y₀′-x₀′ ）．
再由x₀•y₀=1可得 (y0′)2-(x0′)2=2，故的曲線C′的方程為y²-x²=1．
C：（1）把曲線C₁：

x=3cosθ y=2sinθ

（θ為參數），利用同角三角函數基本關系化為普通方程為

x2

9

+

y2

4

=1． 
把曲線C₂：ρsin（θ-

π

4

）=

2

 即

2

2

ρsinθ-

2

2

cosθ=

2

，化為直角坐標為 x-y+2=0．
（2）由

x-y+2=0 x2 9 + y2 4 =1

 解得

x=0 y=2

，或 

x=- 36 13 y=- 10 13

，故兩曲線的交點坐標為（0，2）或（-

36

13

，-

10

13

）．
D：∵已知|x-a|＜

c

4

，|y-b|＜

c

6

，∴|2x-2a|＜

c

2

，|3y-3b|＜

c

2

，∴|2x-2a|+|3y-3b|＜c．
再由|2x-3y-2a+3b|=|（2x-2a）-（3y-3b）|≤|2x-2a|+|3y-3b|，
可得|2x-3y-2a+3b|＜c．

點評：本題可選圓的切線的性質的應用，考查同弧所對的圓周角等于弦切角，考查三角形相似的判斷和性質．求曲線關于矩陣變換后的曲線方程．把參數方程化為普通方程的方法，把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，求兩曲線的交點坐標．絕對值不等式的性質應用，屬于中檔題．