Question

【題目】已知函數f（x）＝|2x+1|﹣2|x﹣m|，m∈N，且f（x）＜3恒成立.

（1）求m的值；

（2）當，時，f（a）+f（b）＝﹣2，證明：.

Answer 1

【答案】（1）m＝0（2）證明見解析

【解析】

（1）利用絕對值不等式的性質，得到|2x+1|﹣|2x﹣2m|≤|2m+1|，結合m∈N即得解.

（2）將f(x)用分段函數表示，結合a,b的范圍，分析函數單調性求得最小值，可分析得到a＝b，可得解.

（1）f（x）＝|2x+1|﹣2|x﹣m|＝|2x+1|﹣|2x﹣2m|

≤|(2x+1)-(2x﹣2m)|＝|2m+1|，

∵m∈N且f（x）＜3恒成立，

∴m＝0.

（2）由（1）知，f（x）＝|2x+1|﹣|2x|.

∴當x∈時，f（x）單調遞增，.

∵，時，∴當且僅當f（a）＝f（b）＝﹣1，

即a＝b時，f（a）+f（b）＝﹣2成立，

∴.