Question

【題目】底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面中心的棱錐叫正棱錐．已知同底的兩個正三棱錐內(nèi)接于同一個球．已知兩個正三棱錐的底面邊長為a，球的半徑為R．設兩個正三棱錐的側(cè)面與底面所成的角分別為α、β，則tan（α+β）的值是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：由題意畫出圖象如下圖：

由圖得，右側(cè)為該球過SA和球心的截面，由于三角形ABC為正三角形，
所以D為BC中點，且AD⊥BC，SD⊥BC，MD⊥BC，
故∠SDA=α，∠MDA=β．
設SM∩平面ABC=P，則點P為三角形ABC的重心，且點P在AD上，SM=2R，AB=a，
∴ ，
因此
= ，
所以答案是： ．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用兩角和與差的正切公式和球內(nèi)接多面體的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握兩角和與差的正切公式：；球的內(nèi)接正方體的對角線等于球直徑;長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長．