Question

已知雙曲線

x2

cos2θ

-

y2

sin2θ

=1（θ為銳角）的右焦為F，P是右支上任意一點(diǎn)，以P為圓心，PF長為半徑的圓在右準(zhǔn)線上截得的弦長恰好等于|PF|，則θ的值為

 

．

Answer 1

分析：由題意雙曲線

x2

cos2θ

-

y2

sin2θ

=1（θ為銳角）的右焦為F，易有F（1，0），又因為P是右支上任意一點(diǎn)，以P為圓心，PF長為半徑的圓在右準(zhǔn)線上截得的弦長恰好等于|PF|，所以的到三角形ABP為正三角形，利用離心率的概念得到θ角的方程解出即可．

解答：解：由題意畫一草圖分析如下：

由于雙曲線

x2

cos2θ

-

y2

sin2θ

=1（θ為銳角）的右焦為F，易有F（1，0），又因為P是右支上任意一點(diǎn)，以P為圓心，PF長為半徑的圓在右準(zhǔn)線上截得的弦長恰好等于|PF|，又P為圓心，PF長為半徑的圓在右準(zhǔn)線上截得的弦長恰好等于|PF|得，P到右準(zhǔn)線的距離為半徑的

3

2

，又P到右焦點(diǎn)的距離為半徑，
所以，離心率為

2

3

=

1

cosθ

（θ∈（0，90°）⇒θ=

π

6

．
故答案為：

π

6

．

點(diǎn)評：此題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程已經(jīng)知道求解焦點(diǎn)坐標(biāo)，還考查了題意理解及雙曲線的離心率的定義及解三角方程．