Question

（1）對于任意的m∈R，動直線l：（m+3）x-（m+2）y+m=0恒過一定點，求該定點坐標．
（2）兩定直線ON、OM夾角θ=45°，且與動直線l分別交于點A、B，A、B在OM、ON上的射影分別為P、Q，如果直線AB過一定點，求證直線PQ也過一定點．

Answer 1

分析：（1）按照m集項，利用任意的m∈R，方程成立，得到方程組，求出方程組的解，得到交點坐標，即可．
（2）建立直角坐標系，設出直線AB的方程，求出B、Q、P的坐標，寫出PQ的方程，然后利用（1）的方法確定直線PQ也過一定點．

解答：解：（1）對于任意的m∈R，動直線l：（m+3）x-（m+2）y+m=0轉化為：m（x-y+1）+3x-2y=0，
所以

x-y+1=0 3x-2y=0

解得x=2，y=3，所以直線l：（m+3）x-（m+2）y+m=0恒過定點（2，3）．
（2）建立如圖所示的直角坐標系，由題意可知OM的方程為：y=x，ON的方程為：y=0，
動直線l分別交于點A、B，不妨設A為定點（1，0），直線AB的方程為：x=ny+1，（n≠1）
所以，AB與OM的交點的橫坐標，由

x=ny+1 y=x

可得：x=

1

1-n

，，（n≠1）
即Q的坐標為（

1

1-n

，0），由題意P（

1

2

，

1

2

），
所以PQ的方程為：（

1

2

-

1

1-n

）（y-

1

2

）=

1

2

(x-

1

2

)，
即

1

2

(y-x)-

1

1-n

(y-

1

2

)=0，因為n∈R，n≠1，
所以直線PQ恒過（

1

2

 ，

1

2

）．

點評：本題是中檔題，考查直線系過定點問題，注意m，n的任意性方程成立條件的應用，考查解析法證明問題的基本方法，考查計算能力．