Question

【題目】已知：三棱錐中，側(cè)面垂直底面， 是底面最長的邊；圖1是三棱錐的三視圖，其中的側(cè)視圖和俯視圖均為直角三角形；圖2是用斜二測畫法畫出的三棱錐的直觀圖的一部分，其中點(diǎn)在平面內(nèi)．

（Ⅰ）請?jiān)趫D2中將三棱錐的直觀圖補(bǔ)充完整，并指出三棱錐的哪些面是直角三角形；

（Ⅱ）設(shè)二面角的大小為，求的值；

（Ⅲ）求點(diǎn)到面的距離．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）

【解析】試題分析：(1)由三視圖還原(如下圖)可知， H為BC中點(diǎn)， ， ，所以和是直角三角形，

（2）由等體積法由可求得點(diǎn)到面的距離。

試題解析：（Ⅰ）補(bǔ)充完整的三棱錐的直觀圖如圖所示；

由三視圖知和是直角三角形．

（Ⅱ）如圖，過作交于點(diǎn).

由三視圖知， ， ，

∴在圖中所示的坐標(biāo)系下，相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為： ， ， ， ，

則， ，

， .

設(shè)平面、平面的法向量分別為, ．

由， ，得

令， 得， ，即．

由， ，得，

令， 得， ，即．

，

,則．

∵二面角的大小為銳角，∴的值為．

（Ⅲ）記到面的距離為，

由， ， ， ，

得，

,

， .

又三棱錐的體積，

由，可得： ．