Question

如圖，四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，側棱A₁A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA₁＝AB＝2，E為棱AA₁的中點．

(1)證明：B₁C₁⊥CE；
(2)求二面角B₁－CE－C₁的正弦值；
(3)設點M在線段C₁E上，且直線AM與平面ADD₁A₁所成角的正弦值為，求線段AM的長．

Answer 1

（1）見解析   （2）   （3）

解：本題可通過建立空間坐標系求解．
如圖，以點A為原點建立空間直角坐標系，依題意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B₁(0,2,2)，C₁(1,2,1)，E(0,1,0)．

(1)證明：易得＝(1,0，－1)，＝(－1,1，－1)，于是·＝0，∴B₁C₁⊥CE.
(2)＝(1，－2，－1)．
設平面B₁CE的法向量m＝(x，y，z)，
則,即
消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一個法向量為m＝(－3，－2,1)．
由(1)，B₁C₁⊥CE，又CC₁⊥B₁C₁，可得B₁C₁⊥平面CEC₁，故＝(1,0，－1)為平面CEC₁的一個法向量．
于是cos〈m，〉＝＝＝－，從而sin〈m，〉＝，
故二面角B₁－CE－C₁的正弦值為.
(3)＝(0,1,0)，＝(1,1,1)．
設＝λ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有＝＋＝(λ，λ＋1，λ)．可取＝(0,0,2)為平面ADD₁A₁的一個法向量．
設θ為直線AM與平面ADD₁A₁所成的角，則
sinθ＝|cos〈，〉|＝
＝＝.
于是＝，解得λ＝ (λ＝－舍去)，
∴AM＝.